Covid-19-Modellierung: Warum sind Prognosen zur Pandemieentwicklung so problematisch?

Am 30. Dezember 2019 entdeckte das Zentrum für die Kontrolle und Prävention von Krankheiten der Stadt Wuhan, China, bei zwei Patienten mit atypischer Lungenentzündung ein neuartiges Virus. Während Virologen der Chinesischen Akademie der Wissenschaften fieberhaft nach der Infektionsquelle und der Art des Erregers suchten, verbreitete sich das nun als Covid-19 oder umgangssprachlich Corona-Virus bezeichnetes Virus wie ein Lauffeuer weltweit.

Die Zahl der in Deutschland infizierten Menschen hat sich zu Beginn der Pandemie etwa alle drei Tage verdoppelt. Der daraus resultierende exponentielle Anstieg würde zu einer Infektion von rd. 2/3 der Gesamtbevölkerung innerhalb von 3 Wochen führen (O. Rheinbach, 2021). Das einfache Exponentialmodell ist jedoch viel zu pessimistisch, da es nicht berücksichtigt, dass jemand wieder gesund wird und auch der Infektionsprozess wesentlich komplexer ist.

Modelle zur Beschreibung der Pandemieentwicklung basieren in der Regel auf einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Dabei wird die Gesamtbevölkerung, je nach dem Zustand innerhalb des Infektionsgeschehens, in Gruppen unterteilt. Vielfach verwendet wird das SIR-Modell, wobei sich die Einteilung in Suszeptible Personen (S), das heißt in Personen, die angesteckt werden können, Infizierte Personen (I) und Recovered (R), d.h. aus dem Infektionsgeschehen entfernte Personen (genesene Personen oder gestorbene Personen), bezieht. Beim erweiterten SEIR-Modell wird die Gruppe der infizierten Personen weiter aufgeteilt in sogenannte exponierte Personen (E), die infiziert aber noch nicht ansteckend sind und infizierte Personen (I), die ansteckend sind. Die Aufteilung der Gruppe in E– und I-Anteile ist jedoch beim Corona-Virus sehr problematisch, da infizierte Personen in der Regel ansteckend sind und der Anteil infizierter Personen, die nicht ansteckend sind, vernachlässigbar klein ist. (K.-H. Tödter, 2020¸ Shaobo He et.al., 2020)). Es werden aber auch andere, insbesondere stochastische Modelle mit SIR bezeichnet, die mit dem deterministischen SIR-Modell lediglich die Gruppeneinteilung gemeinsam haben (M. an der Heiden, U. Buchholz, 2020).

Um Aussagen über die mittel- und langfristige Entwicklung der Corona-Pandemie zu erhalten, muss das Gleichungssystem zur Beschreibung der Pandemie in seiner Lösungsvielfalt der Komplexität des Infektionsgeschehens und der Eingriffsmöglichkeiten in das Infektions­geschehen durch Impfung, Medikamente und/oder social distancing (Isolation) Rechnung tragen. Die Lösungsvielfalt eines Differentialgleichungssystems lässt sich durch Simulationen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen und Parameterwerten ermitteln. Untersucht werden in diesem Zusammenhang die sogenannten kritischen Punkte. Das sind im Falle des SIR-Modells spezifische S-, I-, und R–Werte, für die die zeitlichen Ableitungen des DGL-Systems verschwinden. Daher handelt es sich dabei um stabile oder instabile Punkte die reell oder auch komplex sein können und angeben, wie sich das System in der Nähe der kritischen Punkte verhält. Möglich wäre z.B., dass eine Systemtrajektorie sich immer weiter auf einen kritischen Punkt zubewegt.

In diesem Fall wäre dies ein stabiler Attraktor und im zeitlichen Ablauf würde man eine konstante Zahl an Susceptiblen-, Infizierten- und Recovered-Personen erwarten. Die Pandemie wäre nicht gestoppt, allerdings unter Kontrolle. Bei einem instabilen kritischen Punkt würde sich die Systemtrajektorie von diesem wegbewegen (instabiler Attraktor) und auf einen stabilen Attraktor, oder falls keine weiteren stabilen Attraktoren vorhanden sind, einen zyklischen Verlauf einnehmen. In diesem Fall würden periodische Wellen des Infektionsgeschehens auftreten. Eine Infektionswelle nach der anderen wäre zu erwarten. Bei einem so genannten Strange Attraktor ist eine chaotische Entwicklung gegeben, d.h. unterschiedliche Infektionswellen in Amplitude und Formgebung als auch unterschiedlichem nicht fest vorgegebenem zeitlichem Abstand. Die Pandemie würde unsere Gesellschaft immer wieder stark fordern.

Beim einfachen SIR-Modell existiert nur ein stabiler Attraktor, charakterisiert durch S > 0, I = 0 und R = 0, d.h. die Infektion würde nach einer einmaligen Welle von selbst abklingen, wie auch beim SEIR-Modell. Daher sind diese Modellvarianten nicht für die mittel- bis langfristige Modellierung des Infektionsgeschehens geeignet. Hinzu kommt die mit der Einführung von Lockdown-Maßnahmen (social distancing) verbundene Thematik, die bei allen SEIR-Modell­varianten nicht angemessen berücksichtigt wird. 

Ziel meines Forschungsprojekts ist es, ein mathematisches Simulationsmodell für die Covid-19-Pandemie zu erstellen. Da politische Maßnahmen teilweise von der Anzahl oder dem Anteil infizierter Menschen abhängen, ist es wichtig, die soziale Isolation in die Modellstruktur einzubeziehen. Trotz sozialer Isolationsmaßnahmen findet eine Reihe von Aktivitäten der Personen im öffentlichen Raum statt, wo es durch persönlichen Kontakt von infizierten und nicht infizierten Personen zur Übertragung der Covid-19-Infektion kommen kann. Dies wirkt sich auf die Entscheidungen der Menschen aus, unter Berücksichtigung individueller Präferenzen, im öffentlichen Raum zu sein oder in soziale Isolation zu gehen, sowie auf politische Maßnahmen und Richtlinien. Die Gruppe der Susceptiblen S(t) (ansteckbare Personen) wird entsprechend in zwei Gruppen unterteilt, wobei S1(t), die ansteckbaren Personen im öffentlichen Raum bezeichnet und S2(t), die Gruppe der sich in sozialer Isolation befindlichen Personen.

Modellgemäß wird der Prozess sich im öffentlichen Raum aufzuhalten oder in die soziale Isolation zu gehen als ein dynamischer Entscheidungsprozess abgebildet (Haag, 1989, 2017). Dabei wird davon ausgegangen, dass eine Infektion mit Covid-19 nur im öffentlichen Raum übertragen werden kann. Gesunde Menschen können sich zwischen öffentlichem Raum und sozialer Isolation bewegen, während Menschen, die mit Covid-19 infiziert sind, dies nicht mehr können oder dürfen. Ferner wird angenommen, dass die Anzahl der Infizierten die Neigung der nicht infizierten Bevölkerung sich in soziale Isolation zu begeben, wo keine Ansteckung stattfinden kann, beeinflusst. Es ist auch plausibel anzunehmen, dass der öffentliche Raum von der nicht infizierten Bevölkerung bevorzugt wird, da das soziale Leben hauptsächlich in diesem Bereich stattfindet. Aus der Bevölkerungsforschung ist auch bekannt, dass Menschen zur Gruppenbildung neigen, z. B. andere Menschen an öffentlichen Orten, wie Restaurants, zu treffen.

Die Zahl an Infizierten kann nur zunehmen, wenn gleichzeitig die Populationsgröße der nicht infizierten Population abnimmt. Im übertragenen Sinne werden die infizierten Menschen als „Raubtiere“ und die nicht infizierten als ihre „Beute“ angesehen. Die Interaktion zwischen Raubtieren und Beutetieren ist einer der fundamentalen Prozesse der Biologie. Ein sehr einfaches, aber häufig verwendetes und diskutiertes Modell zur Beschreibung der Interaktion zwischen Raubtier und Beute ist das berühmte Volterra-Lotka-Modell. Auch das SIR- und SEIR-Modell basieren auf diesem Modelltyp.

Modellgemäß wird das klassische Volterra-Lotka-System modifiziert, indem wir der nicht infizierten Bevölkerung erlauben, sich sozial zu isolieren, um eine Ansteckung zu vermeiden. Der Infektionsprozess sowie die mögliche Genesung von der Krankheit, der Tod oder natürliche Geburts- und Todesereignisse sind stochastische Prozesse und diskreter Natur, d.h. die Populationszahlen können sich nur ganzzahlig verändern. Daher wird die Master-Gleichung als Grundlage für die Modellierung (MSIR-Modell) verwendet. Die Mastergleichung liefert die detaillierteste Beschreibung der Entwicklung eines Systems unter Unsicherheitsbedingungen. Wenn sich das System jedoch quasi kontinuierlich verhält, beispielsweise bei großen Bevölkerungszahlen in der Bevölkerungsdynamik, ist eine quasi-deterministische oder Mittelwertbeschreibung ausreichend. Diese näherungsweise gültigen dynamischen Gleichungen der Mittelwerte von S1(t)-, S1(t), I(t)-, R(t)- und D(t) (Anteil an verstorbenen Personen) und der entsprechenden Varianzen können direkt aus der Mastergleichung abgeleitet werden und sind der Ausgangspunkt der Modellanalyse und der Simulationen.

Es zeigt sich dabei, dass durch die Hinzunahme des dynamischen Entscheidungsmodells eine Vielzahl an kritischen Punkten im Phasenraum gegenüber SEIR-Modellen hinzukommen und damit die Lösungsvielfalt der Covid-19-Bewegungsgleichungen der Komplexität des Pande­mie­­geschehens näherkommen dürfte. Da die Anzahl der kritischen Punkte, deren Stabilität wie auch die Parameterwerte des Differentialgleichungssystems entscheiden von den tatsächlichen, empirisch zu bestimmenden Parametern der Pandemie abhängen und was es noch komplizierter gestaltet, diese Parameterwerte, wie etwa der R-Wert, eine deutliche Abhängigkeit von der Altersgruppe der Bevölkerung und dem Geschlecht besitzen, ist es derzeit noch äußerst problematisch langfristige Aussagen über die Entwicklung der Pandemie zu tätigen.

Anbei Simulationsergebnisse zu zwei Beispielszenarien des dynamischen MSIR-Modells. Bei beiden Simulationen basieren die Parameter des Modells auf Daten der ersten Welle. Es wird davon ausgegangen, dass alle Ansteckungen während der ersten 7 Tage geschehen, d.h. der entsprechende Koeffizient epsilon = 1/7 = 0,143 ist entsprechend gewählt. Die Konstante gamma gibt an, wieviel weitere Menschen ein Infizierter pro Zeiteinheit (ein Tag) ansteckt (1. März 2020). Damit ergibt sich gamma = 2.85/7= 0,407 und dementsprechend, R0 = 2.85, also knapp unter 3. R0 = beta/epsilon ist die Basisreproduktionszahl. Für die Rate der an der Pandemie verstorbenen Personen wird der Wert r = 0,0022 in den Simulationen angesetzt. Die Entscheidung der Menschen, den öffentlichen Raum gegenüber sozialer Isolation (Lockdown) vorzuziehen wird durch den Koeffizienten delta = 0,15  ausgedrückt, die Ängste sich im öffentlichen Raum anzustecken beschreibt der Parameter beta > 0, je größer dieser Wert ist, desto größer ist die Sorge vor einer Ansteckung, der Parameter alpha > 0 berücksichtigt, die Präferenz der Bevölkerung in Gruppen zusammen zu leben. Die Reaktionsrate (Mobilitätsrate) der Bevölkerung auf Veränderungen im Infektionsgeschehen zu reagieren beschreibt der Koeffizient nue > 0.  In den Abbildungen bezeichnen die :

  • S1(t): (blaue durchgezogene Linie, ansteckbare Bevölkerung im öffentlichen Raum)
  • S2(t): (blaue unterbrochene Linie, ansteckbare Bevölkerung in sozialer Isolation)
  • I(t): (rote Linie, infizierte Bevölkerung)
  • D(t): (schwarze Linie, an Covid-19 verstorbene Bevölkerung)

Der Anteil der genesenen Personen ergibt sich aus der Anzahl an infizierten Personen abzüglich der verstorbenen Personen.

Unter den, in den Abbildungen aufgeführten zwei Szenarien ergeben sich die dargestellten Entwicklungen der Pandemie in Deutschland. Beginn der Simulationen ist der 01. März 2020. Erkennbar ist, im Unterschied zu den bekannten SIR- und SEIR-Modellsimulationen, dass in Übereinstimmung mit der tatsächlichen Entwicklung mit mehreren Infektionswellen zu rechnen ist. Das MSIR-Modell lässt jedoch weitere Lösungen zu und unterstreicht damit die Komplexität der Infektionsdynamik und der damit verbundenen Problematik angemessene Strategien aus dem Lockdown zu finden. 

Abbildung 1: Simulation des Infektionsgeschehens bei starker Sorge vor der Infektionsgefahr
Abbildung 2: Simulation des Infektionsgeschehens bei schwacher Sorge vor der Infektionsgefahr

Die Ergebnisse zeigen, dass das tatsächlich beobachtete Infektionsgeschehen eine teilweise breitere Verteilung (Kurvenform) in den Infektionszahlen aufweist. Dies ist dadurch bedingt, dass für unterschiedliche Altersgruppen die Infektionsparameter unterschiedlich sind und infolgedessen auch das simulierte Infektionsverhalten. Dies ist bislang nicht berücksichtigt. Für einen besseren Vergleich mit dem tatsächlichen Infektionsgeschehen wäre eine Simulation für die unterschiedliche Altersgruppen erforderlich und deren Superposition, um zur Gesamtstatistik zu gelangen. Das MISR-Modell dient zum jetzigen Zeitpunkt dazu mehr über die Komplexität des Infektionsgeschehens zu verstehen, eine Prognose zum tatsächlichen Verlauf der Pandemie ist derzeit nicht das Ziel.

Die Schätzung der Modellparameter anhand er empirischen Daten des Infektionsgeschehens wird weitere Einblicke in die Dynamik der Covid-19-Pandemie geben. Durch eine Simulation der Datenunsicherheit der Modellparameter könnten mögliche Entwicklungspfade der Pandemie dargestellt werden. Auch ist es möglich Langzeit- und Kurzzeiteffekte politischer Maßnahmen durch eine entsprechende Variation der beteiligten Parameter zu simulieren.

Es deuten alle bisherigen Simulationen darauf hin, dass sich die Covid-19-Infektion in Deutschland ohne eine umfassende Impfung der Bevölkerung, selbst bei Berücksichtigung strenger Lockdown-Maßnahmen, die sich am Infektionsgeschehen orientieren, nur bedingt einschränken und kontrollieren lässt. Ohne Impfmaßnahmen und einem strengen Einhalten des Lockdowns ist von weiteren Infektionswellen auszugehen, die in unregelmäßigen zeitlichen Abständen folgen.

Ihr Ansprechpartner zur Modellierung ist Günther Haag

M. an der Heiden, U. Buchholz (2020): Modellierung von Beispielszenarien der SARS-CoV-2-Epedemie 2020 in Deutschland, Robert-Koch-Institut, DOI 10.25646/6571.2

G. Haag (2017): Modelling with the Master Equation. Solution Methods and Applications in Social and Natural Sciences, Springer, Heidelberg

G. Haag (1989): Dynamic Decision Theory. Applications to Urban and Regional Topics, Kluwer, Dordrecht

O. Rheinbach (2021): Modellierung von Epidemien mit einem einfachen Modell (SIR-Modell und SARS-CoV-2-Daten), block, TU Bergakademie Freiberg

K.-H. Tödter (2020): Ein SIRD-Modell zur Infektionsdynamik mit endogener Behandlungs­kapazität und Lehren für Corona-Statistiken, IMFS Working Paper Series, 14, Goethe Universität Frankfurt a.M.

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